|
مقدمه
یکی از مسائل مهم در نگهداری و بهره برداری از خطوط انتقال نفت و گاز تشخیص و پیش بینی محل و میزان خوردگی براساس اطلاعات موجود می باشد. این پیش بینی ها می تواند جلوگیری از بروز حوادث ناشی از خوردگی خطوط لوله و در برنامه ریزی و تخصیص منابع جهت فعالیتهای نگهداری و تعمیرات باارزش و حیاتی باشد. در این مقاله، با استفاده از نظریه رکوردها که اخیرا مورد توجه بسیاری از پژوهشگران قرار گرفته است، به عنوان ابزاری قدرتمند برای مدل بندی مکان خوردگیها استفاده می شود. در این روش با استفاده از نظريه فرایندهای تصادفی ناهمگن پواسن، مکان خوردگی براساس اطلاعات موجود در طول خط لوله انتقال نفت و گاز به الگو درآورده شده و میزان خوردگی بوسیله مدلهای آماری مورد بررسی قرار خواهد گرفت. همچنین از روشهای این مقاله می توان برای ارزیابی خطوط و مقایسه آنها با یکدیگر استفاده کرد. به عنوان یک مثال واقعی نتایج بدست آمده در مورد يکی از خطوط انتقال نفت بکاربرده شده است.
بنابراین در بخش های 2 و 3، ابتدا مفهوم فرآيندهای تصادفی پواسن ناهمگن و نظریه رکوردها معرفی می شوند. در بخش 4، به معرفی نوع خاصی از پرداخته خواهد شد که کاربرد فراوانی در تخمین خرابی خطوط لوله انتقال دارد. در بخش 5، روشهای نوین برآورد بوسیله نظریه رکوردها بیان خواهد شد. در نهایت نتایج حاصل روی داده های يکی از خطوط لوله انتقال نفت بررسی خواهد شد.
فرآیند تصادفی پواسن ناهمگن
فرآیند شمارشی N(t) که در آن تعداد خوردگیها در فاصله [0,t] را اندازه گیری می کند، یک فرایند تصادفی پواسن ناهمگن (Non-Homogenous Poisson Process) NHPP است هرگاه:
الف) N(0)=0.
ب) برای متغير تصادفی دارای توزیع پواسن با پارامتر باشد. یعنی:
ج) دارای نموهای مستقل باشد یعنی و برای هر از هم مستقل باشند.
در این صورت یک فرایند NHPP با نرخ است.
قضيه: هرگاه مکان رخ دادن خوردگی -م باشد، تابع چگالی احتمال توام ، ، ...، عبارتست از:
بنابراین با استفاده از رابطه (1) می توان مکان خوردگی را با دانستن پیش بینی کرد. برای بدست آوردن نیاز به روشهای آماری خاصی است. در این مقاله، بوسیله نظریه رکوردها و روشهای جدید مربوط به آن اقدام به تخمین می شود.
نکته: يکي از روش های پيش بينی محاسبه تابع چگالی احتمال شرطی کميت مورد نظر به شرط داده های موجود است که در مطالعه موردی توضيح داده خواهد شد.
نظریه رکوردها
در یک دنباله ای از مشاهدات و و ... مشاهده ای که از همه مقادیر ماقبل خود بزرگتر باشد، یک رکورد (Record) تعریف می شود. بطور قرار دادی مشاهده اول بعنوان رکورد اول در نظر گرفته می شود . هرگاه مقدار رکوردام را با نشان دهیم توزیع توام ، ...، عبارتست از:
رابطه (2) در صورتی برقرار است که دنباله و و ... مستقل و هم توزیع با تابع توزیع و تابع چگالی احتمال به ترتیب و باشد. با قرار دادن و ملاحظه می شود که رابطه (1) و (2) معادل اند. پس پیش بینی مکان رخ دادن خوردگی ام معادل پیش بینی کردن رکورد ام است.
تابع توانی برای
متناسب با نوع خط لوله و سابقه آن شکلهای گوناگونی برای تابع می توان درنظرگرفت. یکی از شکل های مهم که دارای قابلیت انعطاف بالایی است، تابع است. اين تابع به ازای، تابع صعودی، به ازای تابعی ثابت و به ازای تابعی نزولی نسبت به t است. اين تابع نرخ خطر برای برخی از مقادير و در نمودار زير رسم شده است.
شکل 1- نمودار تابع نرخ خطر به ازای و
البته توابع ديگری می توان متناسب با نوع شرايط جوی خط لوله انتقال در مکانهای گوناگون در نظر گرفت که متناسب با نوع خط باشد.
تخمین
همانطور که ذکر شد، مکان خوردگی و مقدار رکورد از نظر آماری معادل اند. لذا از روشهای بدست آمده در نظریه رکوردها جهت تخمین پارامترها می توان برای پارامترهای استفاده کرد. بدین منظور فرض کنید مکان خوردگیها در دوره قبل بازرسی بصورت T1، T2، ...، Tm ثبت شده است. پژوهشی توسط احمدی و دوست پرست در سال 2006 نشان داده اند که تخمین و بر اساس، ...، از رابطه های زیر بدست می آید:
همچنین ثابت شده است که (آرنولد و همکاران، 1998) تابع چگالی احتمال شرطی Rs به شرط R1,…,Rm به صورت زير است:
از تابع چگالی احتمال فوق و با جایگزینی و بدست آمده از معادلات (4) و (5)، مقدار پیش بینی شده برای مکان خوردگی sام بدست می آید.
مطالعه موردی
داده های زير مربوط به مکان 18 خوردگی يکی از خطوط انتقال نفت بر حسب کيلومتر می باشد.
جدول 1- مکان خوردگی برحسب کيلومتر
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
|
34.714
|
32.709
|
32.224
|
25.580
|
25.540
|
16.580
|
3.174
|
2.731
|
0.772
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
|
17
|
16
|
15
|
14
|
13
|
12
|
11
|
10
|
|
50.545
|
50.370
|
50.369
|
46.500
|
45.734
|
45.733
|
44.325
|
44.324
|
37.608
|
در اين بخش براساس 17 مقدار اوليه T1,…,T17 اقدام به پيش بينی مکان خوردگی بعدی يعنی T18 خواهد شد. برای آزمون نيکويي برازش مدل NHPP با تابع نرخ خطر ثابت شده است که بايد مقادير ui =ln(Rm /Rm-i) از توزيع نمايي (Exponential Distribution) پيروی کند. نتيجه آزمون کولموگروف-اسميرنوف (Kolmogorov-Smirnov) برای اين مقادير توسط نرم افزار آماری SPSS انجام شده که نتيجه آن در جدول زير آمده است.
جدول 2- آزمون نيکويي برازش برای برقراری مدل NHPP
|
|
UI
|
|
N
|
16
|
|
Exponential parameter.(a,b)
|
Mean
|
.8998
|
|
Most Extreme Differences
|
Absolute
|
.243
|
Positive |
|
.243
|
|
Negative |
|
-.141
|
|
|
Kolmogorov-Smirnov Z
|
.970
|
|
Asymp. Sig. (2-tailed)
|
.303
|
|
Exact Sig. (2-tailed)
|
.564
|
|
Point Probability
|
.000
|
با توجه به جدول (2)، نتيجه می شود که الگوی نمايي برای ui در سطح 5% رد نمی شود (زيرا p-مقدار برابر 564/0 و کمتر از 05/0 نمی باشد). پس فرضيه NHPP بودن فرآیند رخ دادن خوردگی ها با نرخ خطر در اين خط لوله مورد تاييد قرار می گيرد. برآورد پارامترهای α و β عبارت است از:
بنابراين تابع چگالی احتمال شرطی Ts با شرط داده های موجود عبارت است از
لذا مقدار پيش بينی شده تحت تابع زيان قدر مطلق خطا برای مکان خرابي s=18 عبارت است از
اما تحت تابع زيان قدر مطلق خطا مقدار پيش بينی شده برای مکان نوزدهمين خوردگی از معادله زير بدست می آید:
که مقدار محاسبه شده توسط نرم افزار رياضي Maple عبارت است از 104/52 شایان ذکر است که مقدار واقعي رخ داده 370/50 می باشد. نمودار تابع چگالی احتمال T18 به شرط داده های موجود در نمودار زير رسم شده است که براساس آن می توان به هر سوالی درباره T18 پاسخ داد. به عنوان مثال، میتوان نشان داد که با 95 در صد اطمينان که خوردگی بعدی در فاصله 4336/50 و 4842/59 کيلومتر رخ خواهد داد.
شکل 2- نمودار تابع چگالی احتمال شرطی T18 به شرط T1 ، ...، T17
جدول 3- مکان خوردگی برحسب کيلومتر به همراه پيش بينی به صورت مرحله ای
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
|
34.714
|
32.709
|
32.224
|
25.580
|
25.540
|
16.580
|
3.174
|
2.731
|
0.772
|
|
0.8801
|
0.8205
|
0.7258
|
0.7264
|
0.6059
|
0.6132
|
1.9180
|
1.5830
|
غير قابل برآورد
|
برآورد α
|
|
0.3966
|
0.4573
|
0.5630
|
0.5694
|
0.702
|
0.7150
|
0.3274
|
0.4077
|
غير قابل برآورد
|
برآورد β
|
|
39.1573
|
37.8170
|
38.8842
|
31.7865
|
35.0046
|
24.3303
|
3.6631
|
3.4901
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
|
17
|
16
|
15
|
14
|
13
|
12
|
11
|
10
|
|
50.545
|
50.370
|
50.369
|
46.500
|
45.734
|
45.733
|
44.325
|
44.324
|
37.608
|
|
.
|
1.1808
|
1.1114
|
1.1366
|
1.07982
|
1.0027
|
0.9532
|
0.8738
|
0.9136
|
برآورد α
|
|
.
|
0.1661
|
0.2053
|
0.1910
|
0.2256
|
0.2813
|
0.3233
|
0.4005
|
0.3638
|
برآورد β
|
|
.
|
52.8580
|
53.1849
|
49.2071
|
48.7444
|
49.2410
|
48.2150
|
48.9922
|
41.7606
|
نتيجه گيری
یکی از مسائل مهم در نگهداری و بهره برداری از خطوط انتقال نفت و گاز تشخیص و پیش بینی محل و میزان خوردگی براساس اطلاعات موجود می باشد. این پیش بینی ها می تواند جلوگیری از بروز حوادث ناشی از خوردگی خطوط لوله و در برنامه ریزی و تخصیص منابع جهت فعالیتهای نگهداری و تعمیرات باارزش و حیاتی باشد. در این مقاله، از نظریه رکوردها که اخیرا مورد توجه بسیاری از پژوهشگران قرار گرفته است، به عنوان ابزاری قدرتمند برای مدل بندی مکان خوردگیها استفاده شد. در این روش با استفاده از نظريه فرایندهای تصادفی ناهمگن پواسن، مکان خوردگی براساس اطلاعات موجود در طول خط لوله انتقال نفت و گاز به الگو درآورده شد. همچنین از روشهای این مقاله می توان برای ارزیابی خطوط و مقایسه آنها با یکدیگر استفاده کرد. به عنوان یک مثال واقعی نتایج بدست آمده در مورد يکی از خطوط انتقال نفت بکاربرده شد. برای پيش بينی ميزان خوردگی مي توان از نظريه متغيرهای همراه در نظريه رکوردها استفاده کرد که هم اکنون توسط مولفين اين مقاله در حال بررسی می باشد.
مراجع
1-Ahmadi, J. and Doostparast, M. (2006) Bayesian estimation and prediction for some life distributions based on record values, Statistical Papers, Vol. 47, pp. 373-392.
2-Arnold, B. C., Balakrishnan, N. and Nagaraja, H. N. (1998) Records, John Wiley, New York.
[1]کارشناس ارشد مهندسی مکانیک
[2]عضو هیات علمی دانشکده ریاضی دانشگاه فردوسی مشهد
محمد دوست پرست[1]، مهدی دوست پرست[2]
1-شرکت خطوط لوله و مخابرات نفت ایران-منطقه شمال
2-دانشگاه فردوسی مشهد، دانشکده ریاضی- گروه آمار
کد; 3366
گروه:
|